Question

【题目】如图，是的直径，是上半圆的弦，过点作的切线交的延长线于点，过点作切线的垂线，垂足为，且与交于点，设，的度数分别是.

用含的代数式表示，并直接写出的取值范围；

连接与交于点，当点是的中点时，求的值.

Answer 1

【答案】（1）β=90°－2α（0°＜α＜45°）；（2）α=β=30°

【解析】

（1）首先证明 ，在 中，根据两锐角互余，可知 ；

（2）连接OF交AC于O′，连接CF，只要证明四边形AFCO是菱形，推出 是等边三角形即可解决问题．

解：（1）连接OC．

∵DE是⊙O的切线，

∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠DAE=2α，

∵∠D=90°，

∴∠DAE+∠E=90°，

∴2α+β=90°

∴β=90°－2α（0°＜α＜45°）．

（2）连接OF交AC于O′，连接CF．

∵AO′=CO′，

∴AC⊥OF，

∴FA=FC，

∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，

∴CF∥OA，

∵AF∥OC，

∴四边形AFCO是平行四边形，

∵OA=OC，

∴四边形AFCO是菱形，

∴AF=AO=OF，

∴△AOF是等边三角形，

∴∠FAO=2α=60°，

∴α=30°，

∵2α+β=90°，

∴β=30°，

∴α=β=30°．