Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，边AB是半圆O的直径，点E是CD的中点，BE交半圆O于点F，连接DF．

（1）求证：DF是半圆O的切线；

（2）若AB =8，AD =3，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OF、OD、AF，根据矩形的性质和已知条件可得DE=CD，OB=AB，DC∥AB，∠OAD=90°，然后利用SAS证出△AOD≌△FOD，即可证出∠OAD=∠OFD=90°，然后根据切线的判定定理即可证出结论；

（2）根据相似三角形的判定证出Rt△AOD∽Rt△FBA，然后列出比例式，根据比例式设AF=3x，BF=4x，然后根据勾股定理列出方程即可求出结论．

（1）证明：连接OF、OD、AF，

在矩形ABCD中，

∵点E是CD的中点，点O是AB的中点，

∴DE=CD，OB=AB，DC∥AB，∠OAD=90°

∴四边形OBED为平行四边形

∴OD∥BF

∴∠AOD=∠OBF，∠OFB=∠FOD

∵OB=OF

∴∠OBF=∠OFB

∴∠AOD=∠FOD，

∵OA=OF，OD=OD

∴△AOD≌△FOD（SAS）

∴∠OAD=∠OFD=90°，

∴OF⊥DF，即DF为半圆O的切线

（2）由（1）知：在Rt△AOD和Rt△FBA中，

∠AOD=∠OBF，∠DAO=∠BFA=90°

∴Rt△AOD∽Rt△FBA

∴

又在矩形ABCD中，AB=8，AD=3，则OA=4，

∴

∴可设AF=3x，BF=4x

在Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2

82=（3x）2+（4x）2

解得，x1=，x2=－(舍)

即BF=