Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F交⊙O于D，连接DE，BE，BD

（1）求证：∠C＝∠BED；

（2）若AB＝12，tan∠BED＝，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据切线性质、垂直的性质、直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠C+∠AOC＝∠AOC+∠BAD＝90°，即∠C＝∠BAD；然后由圆周角定理推知∠BED＝∠BAD；最后由等量代换得∠C＝∠BED；

（2）根据锐角三角函数的定义求出AC，OC的长，求出AF长，则答案可求出．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，

∴∠C+∠AOC＝90°；

又∵OC⊥AD，

∴∠OFA＝90°，

∴∠AOC+∠BAD＝90°，

∴∠C＝∠BAD．

又∵∠BED＝∠BAD，

∴∠C＝∠BED．

（2）解：由（1）知∠C＝∠BAD，tan∠BED＝，

∴tan∠C＝，

∴tan∠C＝，且OA＝AB＝6，

∴ ，解得AC＝8，

∴，

根据∠OFA＝∠OAC＝90°，

∴OCAF＝OAAC，

∴．

∴．