Question

18．若方程x²+8x-4=0的两根为x₁、x₂，则$\frac{1}{{{x_1}^2}}$+$\frac{1}{{{x_2}^2}}$=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 先根据根与系数的关系x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$得出x₁+x₂=-8，x₁x₂=-4，再根据$\frac{1}{{{x_1}^2}}$+$\frac{1}{{{x_2}^2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$代入计算即可．

解答 解：∵方程x²+8x-4=0的两根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-8，x₁x₂=-4，
∴$\frac{1}{{{x_1}^2}}$+$\frac{1}{{{x_2}^2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$=$\frac{（-8）^{2}-2×（-4）}{（-4）^{2}}$=$\frac{9}{2}$；
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，关键是把$\frac{1}{{{x_1}^2}}$+$\frac{1}{{{x_2}^2}}$变形为$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$．