Question

14．如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC．
（1）求证：CB=CD；
（2）若∠BCD=90°，AO=2CO，求tan∠ADO．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB，根据角的和差得到∠CBD=∠CDB，于是得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到AC垂直平分BD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
即：∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD；

（2）∵CB=CD，AB=AD，
∴AC垂直平分BD，
∴∠AOD=90°，BO=DO，
∵∠BCD=90°，BO=DO，
∴OC=OD=$\frac{1}{2}BD$，
∵AO=2OC，
∴AO=2OD  即：$\frac{AO}{OD}=2$，
∴Rt△AOD中，tan∠ADO=$\frac{AO}{OD}=2$．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．