Question

【题目】如图，在ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，BE、DF分别交AC于点G、H，连接DG、BH．

（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；

（2）四边形GBHD是平行四边形吗？请说明理由；

（3）若GD＝CH，试判断AC与GH之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）是，证明详见解析；（3）AC＝3GH，理由详见解析

【解析】

（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判断；

（2）根据（1）中结论，可得AD＝BC，AD∥BC，BE∥DF，从而证明△ADH≌△CBG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可；

（3）先证明△AEG∽△CBG，得出相似比，从而得到AC＝3AG及AH＝2CH，进而得出AC与GH的数量关系．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，DE∥BF，

∵E、F分别是AD、BC中点，

∴DE＝BF，

∴四边形EBFD是平行四边形；

（2）解：∵四边形EBFD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，BE∥DF，

∴∠DAH＝∠BCG，∠AHD＝∠CGB，

在△ADH与△CBG中，，

∴△ADH≌△CBG（AAS），

∴DH＝BG，

∵DH∥BG，

∴四边形GBHD是平行四边形；

（3）解：AC与GH之间的数量关系为：AC＝3GH，

理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AD、BC的中点，

∴BC＝AD＝2AE，AE∥BC，

∴△AEG∽△CBG，

∴，

∴CG＝2AG，

∴AC＝3AG，即AG＝AC，

同理可得：AH＝2CH，

∴AC＝3CH，即CH＝AC，

∴GH＝AC，

即AC＝3GH．