Question

【题目】如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．

（1）求证：；

（2）求这个矩形EFGH的周长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）72cm．

【解析】

（1）根据矩形性质得出∠AHG=∠ABC，再证明△AHG∽△ABC，即可得出结论；

（2）根据（1）中比例式即可求出HE的长度，以及矩形的周长．

解：（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，

∴EF∥GH，

∴∠AHG=∠ABC，

又∵∠HAG=∠BAC，

∴△AHG∽△ABC，

∴；

（2）解：由（1）得：设HE=xcm，则MD=HE=xcm．

∵AD=30cm，

∴AM=（30﹣x）cm．

∵HG=2HE，

∴HG=（2x）cm，

可得：，

解得：x=12，

故HG=2x=24，

所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）．

答：矩形EFGH的周长为72cm．