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【题目】如图,已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点,AC⊥x轴于点M,交直线y=﹣x于点N.若点P是线段ON上的一个动点,∠APB=30°,BA⊥PA,则点P在线段ON上运动时,A点不变,B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时,点B运动的路径长是______

【答案】

【解析】由题意可知,OM= ,点N在直线y=﹣x上,AC⊥x轴于点M,则△OMN为等腰直角三角形,ON=OM=×=

如答图①所示,设动点P在O点(起点)时,点B的位置为B0,动点P在N点(起点)时,点B的位置为Bn,连接B0Bn

∵AO⊥AB0,AN⊥ABn

∴∠OAC=∠B0ABn

又∵AB0=AOtan30°,ABn=ANtan30°,∴AB0:AO=ABn:AN=tan30°,

∴△AB0Bn∽△AON,且相似比为tan30°,

∴B0Bn=ONtan30°==

现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径(或轨迹).

如答图②所示,当点P运动至ON上的任一点时,设其对应的点B为Bi,连接AP,ABi,B0Bi

∵AO⊥AB0,AP⊥ABi,∴∠OAP=∠B0ABi

又∵AB0=AOtan30°,ABi=APtan30°,∴AB0:AO=ABi:AP,

∴△AB0Bi∽△AOP,∴∠AB0Bi=∠AOP.

又∵△AB0Bn∽△AON,∴∠AB0Bn=∠AOP,

∴∠AB0Bi=∠AB0Bn

∴点Bi在线段B0Bn上,即线段B0Bn就是点B运动的路径(或轨迹).

综上所述,点B运动的路径(或轨迹)是线段B0Bn,其长度为

故答案为:

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