【题目】如图,已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点,AC⊥x轴于点M,交直线y=﹣x于点N.若点P是线段ON上的一个动点,∠APB=30°,BA⊥PA,则点P在线段ON上运动时,A点不变,B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时,点B运动的路径长是______.
【答案】
【解析】由题意可知,OM= ,点N在直线y=﹣x上,AC⊥x轴于点M,则△OMN为等腰直角三角形,ON=OM=×= .
如答图①所示,设动点P在O点(起点)时,点B的位置为B0,动点P在N点(起点)时,点B的位置为Bn,连接B0Bn.
∵AO⊥AB0,AN⊥ABn,
∴∠OAC=∠B0ABn,
又∵AB0=AOtan30°,ABn=ANtan30°,∴AB0:AO=ABn:AN=tan30°,
∴△AB0Bn∽△AON,且相似比为tan30°,
∴B0Bn=ONtan30°== .
现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径(或轨迹).
如答图②所示,当点P运动至ON上的任一点时,设其对应的点B为Bi,连接AP,ABi,B0Bi.
∵AO⊥AB0,AP⊥ABi,∴∠OAP=∠B0ABi,
又∵AB0=AOtan30°,ABi=APtan30°,∴AB0:AO=ABi:AP,
∴△AB0Bi∽△AOP,∴∠AB0Bi=∠AOP.
又∵△AB0Bn∽△AON,∴∠AB0Bn=∠AOP,
∴∠AB0Bi=∠AB0Bn,
∴点Bi在线段B0Bn上,即线段B0Bn就是点B运动的路径(或轨迹).
综上所述,点B运动的路径(或轨迹)是线段B0Bn,其长度为.
故答案为: .
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【题目】如图,在东西方向的海岸线上有一个码头M,在码头M的正西方向有一观察站O.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向,且与O相距千米的A处;经过3小时,又测得该轮船位于O的正北方向,且与O相距60千米的B处.
(1)求该轮船航行的速度;
(2)当该轮船到达B处时,一艘海监船从O点出发以每小时16千米的速度向正东方向行驶,请通过计算说明哪艘船先到达码头M.(参考数据: )
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【题目】如图,已知点E、F在直线AB上,点G在线段CD上,ED与FG交于点H,∠C=∠EFG,∠CED=∠GHD.
(1)求证:CE∥GF;
(2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系,并说明理由;
(3)若∠EHF=100°,∠D=30°,求∠AEM的度数.
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【题目】在平行四边形ABCD中,∠A的平分线交DC于E,若∠DEA=30°,则∠B=( ).
A. 100° B. 120° C. 135° D. 150°
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【题目】在西部大开发中,为了改善生态环境,鄂西政府决定绿化荒地,计划第1年先植树1.5万亩,以后每年比上一年增加1万亩,结果植树总数是时间(年)的一次函数,则这个一次函数的图象是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案,已知大正方形的面积为49,小正方形的面积为4,若用x,y(其中x>y)表示小矩形的长与宽,请观察图案,指出以下关系式中不正确的是( )
A.x+y=7
B.x﹣y=2
C.x2﹣y2=4
D.4xy+4=49
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