Question

4．定义：如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形”．显然，“特征轴三角形”是等腰三角形．
（1）抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-2对应的“特征轴三角形”是④；抛物线y=x²-2$\sqrt{3}$x对应的“特征轴三角形”是②．（把下列较恰当结论的序号填在横线上：①腰与底边不相等的等腰三角形；②等边三角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形．）
（2）若抛物线y=ax²+2ax-3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，则a的值为±$\frac{1}{2}$．
（3）如图，面积为12$\sqrt{3}$的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE是抛物线y=ax²+bx+c的“特征轴三角形”，求此抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）先确定出抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标，进而求出AD，BD，即可判断出抛物线的“特征轴三角形”；
（2）根据抛物线的“特征轴三角形”是直角三角形建立方程求解即可；
（3）先判断出△ABE是等边三角形，即可求出AH，BE，EH，最后用待定系数法求出抛物线解析式．

解答 解：（1）设抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-2与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，
∴A（-2，0），B（2，0），D（0，-2），
∴AD=BD=2$\sqrt{2}$，AD²+BD²=8+8=4²=AB²，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-2对应的“特征轴三角形”是等腰直角三角形，
设抛物线y=x²-2$\sqrt{3}$x与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，
∴A（0，0），B（2$\sqrt{3}$，0），D（$\sqrt{3}$，-3），
∴AD=BD=2$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴抛物线y=x²-2$\sqrt{3}$x对应的“特征轴三角形”是等边三角形，
故答案为：④，②；
（2）设抛物线y=ax²+2ax-3a与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，
∴A（-3，0），B（1，0），D（-1，-4a），
∵抛物线y=ax²+2ax-3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，
∴AB²=AD²+BD²，
∴16=4+16a²+4+16a²，
∴a=±$\frac{1}{2}$，
故答案为：±$\frac{1}{2}$
（3）如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AE=CE=OE=BE，
∴S_△ABE=$\frac{1}{4}$S矩形ABCD=$\frac{1}{4}$×12$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∵△ABE是抛物线的“特征轴三角形”，
根据抛物线的对称性得，AE=AB，
∴AE=AB=BE，
∴△ABE是等边三角形，
过点A作AH⊥BE，
∴AH=ABsin∠ABE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$BE²=3$\sqrt{3}$，
∴BE=2$\sqrt{3}$，
∴AH=3，EH=$\sqrt{3}$，
∴A（3$\sqrt{3}$，3），E（2$\sqrt{3}$，0），B（4$\sqrt{3}$，0），
设抛物线解析式为y=a（x-3$\sqrt{3}$）²+3，
将点E（2$\sqrt{3}$，0）代入得，a=-1，
∴y=-（x-3$\sqrt{3}$）²+3=-x²+6$\sqrt{3}$x-24．
∴过点A，B，E三点的抛物线的解析式y=-x²+6$\sqrt{3}$x-24．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的“特征轴三角形”的特点，待定系数法，直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出△ABE是等边三角形．