Question

（12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点M为抛物线的顶点，且OC=OB．

（1）求抛物线的解析式．

（2）过C、O两点作⊙H交x轴于另一点D，交直线BC于另一点E，已知F（1.5，-1.5）（F与H不重合）．求：的值．

（3）若抛物线上有一点P，连PC交线段BM于Q点，且，求P点的坐标．

Answer 1

（1）；（2）；（3）（2，－3）.

【解析】

试题分析：（1）有抛物线求出C的坐标，由OC=OB，得到B的坐标，解关于m的一元二次方程即可得到m的值，从而得到抛物线的解析式；

（2）根据已知得到△OCB是等腰直角三角形，得出∠OBC=45°，由CD为⊙H的直径，得到△BED是直角三角形，从而得到△BED是等腰直角三角形，得到BD与ED的关系，根据作图得到，FH是△CBD的中位线，得到FH和BD的关系，从而得到的值；

（3）首先确定出点C、M的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC的解析式，然后根据S△BPQ=S△CMQ时则S△BPC=S△BMC，利用等底同高的三角形的面积相等可知此时MP∥BC，然后根据互相平行的两直线的解析式的k值相等以及点M的坐标求出直线MP的解析式，联立抛物线解析式求解即可得到点P的坐标．

试题解析：（1）在中，令，得：，∴OC=，

∵OC=OB，∴ OB=，∴B（，0），把B（，0）代入中，得到：，

∴，

∵，∴，∴；

（2）∵B（3，0），C（0，－3），F（1.5，－1.5），∴F为BC的中点，

∵H为CD的中点，∴FH为△CBD的中位线，∴FH=BD，

∵OC=OB，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，

∵CD为⊙H的直径，∴∠CED=90°，∴△BED是等腰直角三角形，∴BD=ED，

∴FH=BD=ED，∴；

（3）∵点C坐标为（0，﹣3），M（1，﹣4），

设直线BC的解析式为，

则，解得：，

所以直线BC的解析式为，

∵S△BPQ=S△CMQ，∴S△BPQ+S△BCQ=S△CMQ+S△BCQ，即S△BPC=S△BMC，

∴点P到BC的距离等于点M到BC的距离，

∴MP∥BC，

设MP的解析式为，代入（1，－4）得：

则，解得，

所以，直线MP的解析式为，

联立，

解得（为点M坐标），，

所以，点P的坐标为（2，﹣3）．

考点：二次函数综合题．

考点分析： 考点1：二次函数 定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。 二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。 考点2：图形的相似 形状相同，大小不同的两个图形相似 试题属性

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