Question

我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该特产的销售投资收益为：每年投入x万元，可获得利润P=（万元），当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：规划后对该项目每年投入100万元，在实施规划的5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x万元，可获利润
Q=（万元）
（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
（2）①求公路在修建过程中这两年在当地销售的最大利润．
②设在公路通车后的3年中，每年用x万元投资本地销售，而用剩下的（100-x）万元投资外地销售，这3年中每年的总利润为W万元，求W与x之间的函数关系式．（W=公路修通后每年当地销售利润+公路修通后每年外地销售利润）
③扣除前两年的修路费用，设这5年的纯利润为S万元，求S与x的关系式．
（S=前两年的最大利润+后3年每年的总利润×3-前两年的修路费用）
④求S的最大值．
（3）根据（1）、（2），该规划方案是否具有实施价值．

Answer 1

解：（1）∵P=，
∴当x=60时，p取最大值41，
5年所获利润的最大值=41×5=205；

（2）①∵a=-＜0，
∴当x＜60时，p随x增大而增大，
∵拨出50万进行修路，
∴当地政府对该特产的销售投资为50万，
∴当x=50时，p取最大值，
代入可得p=40，
则这两年在当地销售的最大利润=40×2=80；
②由题意得：W=-（x-60）²+41-x²+x+160
=-x²+60x+165；
③由题意得：S=80-50×2+3（-x²+60x+165）
=-3x²+180x+475；
④S=-3x²+180x+475
=-3（x-30）²+3175
当x=30时，S取最大值3175；

（3）由（1）、（2）可得：实施该方案5年获得的利润为3175万元，不实施该方案5年获得利润205万元，
∵3175＞205，
∴该规划方案有实施价值．
分析：（1）由可获得利润P=-（x-60）²+41（万元），即可知当x=60时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值；
（2）①根据（1）可知：当x＜60时，p随x增大而增大，可得当x=50时利润最大，即可求出答案；
②根据W=公路修通后每年当地销售利润+公路修通后每年外地销售利润，把本地销售的量x和投资外地销售的量100-x代入即可列出函数关系式；
③根据S=前两年的最大利润+后3年每年的总利润×3-前两年的修路费用，将②中求出的W代入S，即可列出函数关系式；
④将③得出的函数解析式进行配方即可求出最大值；
（3）比较可知实施与不实施所获得的利润，即可作出判断．
点评：此题考查了二次函数的实际应用问题，难度较大，解答本题的关键是理解题意，还要注意后三年的最大值的求解方法是利用配方法求得函数最大值．