Question

1．已知如图（1）△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．
①图中有几个等腰三角形？且EF与BE、CF间有怎样的关系？（不证明）
②若AB≠AC，其他条件不变，如图（2），图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？若存在请给出证明．
③若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图（3），这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF间的关系如何？为什么（要证明你的结论）？

Answer 1

分析 （1）根据EF∥BC，∠B、∠C的平分线交于O点，可得∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，再加上题目中给出的AB=AC，共5个等腰三角形；根据等腰三角形的性质，即可得出EF与BE、CF间有怎样的关系；
（2）根据EF∥BC 和∠B、∠C的平分线交于O点，还可以证明出△OBE和△OCF是等腰三角形；利用几个等腰三角形的性质，即可得出EF与BE，CF的关系；
（3）EO∥BC和OB，OC分别是∠ABC与∠ACL的角平分线，还可以证明出△BEO和△CFO是等腰三角形，利用几个等腰三角形的性质以及线段的和差关系，即可得出EF与BE，CF的关系．

解答 解：（1）有5个等腰三角形，EF与BE、CF间有怎样的关系是：EF=BE+CF．
理由如下：如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴BE=OE，OF=CF，
∴△ABC，△AEF，△BOC，△BEO，△CFO是等腰三角形；
如图1，∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
又∠B、∠C的平分线交于O点，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，
∴OE=BE，OF=CF，
∴EF=OE+OF=BE+CF．
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC，
∴EF=BE+CF=2BE=2CF；

（2）有2个等腰三角形，分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；第（1）问中的关系EF=BE+CF仍成立．
理由：如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO是等腰三角形；
∵BE=OE，CF=OF，
∴EF=EO+FO=BE+CF；

（3）有2个等腰三角形：△EBO，△OCF，EF与BE，CF的关系为：EF=BE-CF，
理由如下：如图3，∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCD，
又∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACD的角平分线，
∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCD，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE，
∠FCO=∠FOC，
∴CF=FO，
又∵EO=EF+FO，
∴EF=BE-CF．

点评 此题属于三角形综合题，主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，解题时注意：第（1）中容易忽略△ABC也是等腰三角形，因此这又是一道易错题．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．