Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，AC＝CD，连接AD交BC于点M，延长MC到N，使CN＝CM．

（1）判断直线AN是否为⊙O的切线，并说明理由；

（2）若AC＝10，tan∠CAD＝，求AD的长．

Answer 1

【答案】(1)是 (2)16

【解析】（1）由MC=CN，且得出AC垂直于MN，则△AMN是等腰三角形，所以∠CAN=∠DAC，再由AC=DC，则∠D=∠DAC，根据同弧所对的圆周角相等得出∠B=∠D，从而得出∠B=∠NAC，即可得出∠BAN=90°；

（2）等腰三角形ACD中，两腰AC=CD=10，且已知底角正切值，过点C作CE⊥AD，底边长AD可以求出来．

（1）直线AN是⊙O的切线，理由是：

∵AB为⊙O直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

∵CN=CM，

∴∠CAN=∠DAC，

∵AC=CD，

∴∠D=∠DAC，

∵∠B=∠D，

∴∠B=∠NAC，

∵∠B+∠BAC=90°，

∴∠NAC+∠BAC=90°，

∴OA⊥AN，

又∵点A在⊙O上，

∴直线AN是⊙O的切线；

（2）过点C作CE⊥AD，

∵tan∠CAD= ，

∴ ，

∵AC=10，

∴设CE=3x，则AE=4x，

在Rt△ACE中，根据勾股定理，CE2+AE2=AC2，

∴（3x）2+（4x）2=100，

解得x=2，

∴AE=8，

∵AC=CD，

∴AD=2AE=2×8=16．