Question

已知，△OAB和△OCD都是等边三角形，若△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转到如图位置，连结AC，BD，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△OAC≌△OBD；
（2）求∠AEB的大小；
（3）若△OCD绕点O继续旋转，问∠AEB是变大还是变小？还是不变？（请直接写答案，不要求证明）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）由△OAB和△OCD都是等边三角形，得出OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，再进一步得出∠AOC=∠BOD证得结论；
（2）根据等边三角形和外角的性质，可求∠AEB=60°；
（3）方法同（2），只是∠AEB=∠8-∠5，此时已不是外角，但仍可用外角和内角的关系解答．

解答：解：（1）∵△OAB和△OCD都是等边三角形，
∴OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOC=∠BOD．  
在△OAC和△OBD中

OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD

，
∴△OAC≌△OBD．        
∴AC=BD；              
（2）如图，

由（1）得，∠1=∠2，
∵∠AEB=∠3-∠2，∠3=∠AOB+∠1，
∴∠AEB=∠3-∠2=∠AOB+∠1-∠2=∠AOB，
∴∠AEB=60°；                                
（3）∠AEB的大小不变．                         
如图，

∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．
又∵OD=OA，
∴OD=OB，OA=OC，
∴∠4=∠5，∠6=∠7．
∵∠DOB=∠1+∠3，
∠AOC=∠2+∠3，
∴∠DOB=∠AOC．
∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，
∴2∠5=2∠6，
∴∠5=∠6．
又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，
∴∠AEB=∠2+∠6-∠5=∠2+∠5-∠5=∠2，
∴∠AEB=60°．

点评：此题主要考查三角形全等的判定与性质，等边三角形和外角的性质，注意结合图形，找出变与不变存在的内在联系．