Question

已知x₁、x₂是关于x的一元二次方程kx²+4x-3=0的两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在这样的实数k，使2x₁+2x₂+3x₁x₂=2成立？若存在，求k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=4²-4×k×（-3）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-

4

k

，x₁x₂=-

3

k

，由于2x₁+2x₂+3x₁x₂=2，则2×（-

4

k

）+3×（-

3

k

）=2，解得k=-

17

2

，然后根据k的值是否满足（1）的范围确定在不存在．

解答：解：（1）根据题意得k≠0且△=4²-4×k×（-3）＞0，
解得k＞-

4

3

且k≠0；
（2）不存在．
根据题意得x₁+x₂=-

4

k

，x₁x₂=-

3

k

，
∵2x₁+2x₂+3x₁x₂=2，
∴2×（-

4

k

）+3×（-

3

k

）=2，解得k=-

17

2

，
而k＞-4且k≠0，
∴不存在实数k，使2x₁+2x₂+3x₁x₂=2成立．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．