Question

已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P由B出发沿BC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；点 Q由A出发沿AB方向向点B匀速运动，速度为1cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t （s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ的垂直平分线经过点B？
（2）如图②，连接CQ．设△PQC的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）如图②，是否存在某一时刻t，使线段CQ恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据勾股定理，可得AB的长，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得QD的长，根据三角形的面积公式，可得函数解析式；
（3）根据三角形面积的和差，可得四边形的面积，根据线段CQ恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分，可得方程，根据解方程，可得答案．

解答：解：（1）由勾股定理得AB=

AC2+BC2

=10，
由题意得PB=2t，QB=10-t，
由PQ的垂直平分线经过点B，得
2t=10-t，
t=

10

3

；
（2）作QD⊥BC与D点，AC⊥BC，，
QD∥AC，
△BDQ∽△BCQ，

BQ

AB

=

DQ

AC

，AC=6，AB=10，BQ=10-t，
DQ=

30-3t

5

，CP=8-2t，
y=

1

2

CP•DQ=

1

2

×

30-3t

5

×(8-2t)，
即y=-

3

5

t²-

42

5

t+24；
（3）存在，
S_△BCQ=

1

2

BC•DQ=

1

2

×8×

30-3t

5

=24-

12

5

t，
S_△ABC=

1

2

×AC×BC=24，
S_△ACQ=S_△ABC-S_△CQB=24-（24-

12

5

t）=

12

5

t，
①当S_△ACQ：S_CPQ=1：2时，（

12

5

t）：（-

3

5

t²-

42

5

t+24）=1：2，
t²+22t-40=0
解得t₁=-11+

161

，t₂=-11-

161

（不符合题意舍去），
②当S_△ACQ：S_CPQ=2：1时，（

12

5

t）：（-

3

5

t²-

42

5

t+24）=2：1，
t²+16t-40=0
解得t₁=-8+2

26

，t₂=-8-2

26

（不符合题意，舍去），
综上所述：t=-11+

161

，t=-8+2

26

时线段CQ恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分．

点评：本题考查了相似形综合题，利用了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，构造相似三角形是解题关键．