Question

【题目】已知是弧的中点，垂直于弦于，若弦的长度为，线段的长度是，那么线段的长度是________．（用含有的代数式表示）

Answer 1

【答案】

【解析】

延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，由M是弧CAB的中点，可得∠BDM=∠CDM，又因为MP垂直于弦AB于P，可得∠BPD=∠EPD=90°，然后由ASA定理可证△DPE≌△DPB，然后由全等三角形的对应角相等，对应边相等可得：∠B=∠E，PB=EP，然后由圆内接四边形的性质可得：∠ECA=∠B，进而可得：∠E=∠ECA，然后根据等角对等边可得AE=AC，进而可得PB=PE=EA+AP=AC+AP，然后将AC=x，AP=x+1，代入即可得到PB的长．

延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，

∵M是弧CAB的中点，

∴∠BDM=∠CDM，

∵MP垂直于弦AB于P，

∴∠BPD=∠EPD=90°，

在△DPE和△DPB中，

∵，

∴△DPE≌△DPB（ASA），

∴∠B=∠E，PB=EP，

∵四边形ABDC是圆内接四边形，

∴∠ECA=∠B，

∴∠E=∠ECA，

∴AE=AC，

∴PB=PE=EA+AP=AC+AP，

∵AC=x，AP=x+1，

∴PB=2x+1．

故答案为：2x+1．