Question

10．已知抛物线y=x²+bx+c与x轴的负半轴交于A，B两点，与y轴交于C，且线段AB的长为2，S_△ABC=2，则b的值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C，令x=0，求出C点坐标，又与x轴的负半轴交于A、B两点，判断出c的符号，将其转化为方程的两个根，再根据S_△ABC=2，求出b值

解答 解：∵抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C，
令x=0得，C（0，c），
∵该抛物线的开口向上，且与x轴的负半轴交于A、B两点，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
设方程x²+bx+c=0的两个根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，
∵BC=2=|x₁-x₂|．
∵S_△ABC=，
∴$\frac{1}{2}$BC×c=2，
∴c=2，
∵|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1+}{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴4=b²-8，
∴b=±2$\sqrt{3}$，
∵x₁+x₂=-b＜0
∴b＞0，
∴b=2$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查一元二次方程与函数的关系及三角形的面积公式，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，两者可以互相转化．