Question

【题目】如图，任意画一个∠BAC＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC；其中正确的结论为_____．（填写序号）

Answer 1

【答案】①②④⑤．

【解析】

由三角形内角和定理和角平分线得出∠PBC+∠PCB的度数，再由三角形内角和定理可求出∠BPC的度数，①正确；由∠BPC＝120°可知∠DPE＝120°，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，由角平分线的性质可知AP是∠BAC的平分线，②正确；PF＝PG＝PH，故∠AFP＝∠AGP＝90°，由四边形内角和定理可得出∠FPG＝120°，故∠DPF＝∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD＝PE，④正确；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，故可得出BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，再由DF＝EG可得出BC＝BD+CE，⑤正确；即可得出结论．

解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC＝60°，

∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣60°）＝60°，

∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°，①正确；

∵∠BPC＝120°，

∴∠DPE＝120°，

过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，

∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，

∴AP是∠BAC的平分线，②正确；

∴PF＝PG＝PH，

∵∠BAC＝60°∠AFP＝∠AGP＝90°，

∴∠FPG＝120°，

∴∠DPF＝∠EPG，

在△PFD与△PGE中，，

∴△PFD≌△PGE（ASA），

∴PD＝PE，④正确；

在Rt△BHP与Rt△BFP中，，

∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），

同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，

∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，

两式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE，

∵DF＝EG，

∴BC＝BD+CE，⑤正确；

没有条件得出AD＝AE，③不正确；

故答案为：①②④⑤．