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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．
    （1）求m的值及这个二次函数的解析式；
    （2）在x轴上找一点Q，使△QAB的周长最小，并求出此时Q点坐标；
    （3）若P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．
    ①设线段DE的长为h，当0＜a＜3时，求h与a之间的函数关系式；
    ②若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形精英家教网？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）将A点坐标分别代入抛物线的直线，便可求出抛物线的解析式和m的值；
    （2）使△QAB的周长最小，即是求AQ+BQ的值最小，作出B点关于x轴的对称点B′，当A、Q、B′三点在一条直线上时，△QAB的周长最小；
    （3）①根据P点坐标分别求出DE两点坐标，便可求出h与a之间的函数关系式；
    ②存在，P点坐标为（
    3+
    		17
    2
    ，0），（
    3 -
    		17
    2
    ，0）．
    解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2，
    ∵点A（3，4）在抛物线上，则4=a（3-1）2，
    解得a=1，
    ∴抛物线的解析式为y=（x-1）2
    ∵点A（3，4）也在直线y=x+m，即4=3+m，
    解得m=1；

    （2）直线y=x+1与y轴的交点B的坐标为B（0，1），
    B点关于x轴的对称点B′点的坐标为B′（0，-1），
    设直线AB′的解析式为y=kx+b，
    将A、B′两点坐标代入y=kx+b，
    解得k=
    5
    3
    ，b=-1，
    ∴设直线AB的解析式为y=
    5
    3
    x-1，
    当A、Q、B′三点在一条直线上时，
    AQ+BQ的值最小，即△QAB的周长最小，
    Q点即为直线AB′与x轴的交点．
    Q点坐标为Q(
    3
    5
    ，0)(3分)

    （3）①已知P点坐标为P（a，0），则E点坐标为E（a，a2-2a+1），D点坐标为D（a，a+1），
    h=DE=yD-yE=a+1-（a2-2a+1）=-a2+3a，
    ∴h与a之间的函数关系式为h=-a2+3a（0＜a＜3）（3分）

    ②存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形
    理由是∵M（1，0），
    ∴把x=1代入y=x+1得：y=2，
    即N（1，2），
    ∴MN=2，
    要使四边形NMED是平行四边形，必须DE=MN=2，
    由①知DE=|-a2+3a|，
    ∴2=|-a2+3a|，
    解得：a1=2，a2=1，a3=
    3+
    		17
    2
    ，a4=
    3-
    		17
    2
    ，
    ∴（2，0），（1，0）（因为和M重合，舍去）（
    3+
    		17
    2
    ，0），（
    3-
    		17
    2
    ，0）
    ∴P的坐标是（2，0），（
    3+
    		17
    2
    ，0），（
    3-
    		17
    2
    ，0）．
    点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形的性质等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
    练习册系列答案
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    如图，已知二次函数图象的顶点为原点，直线y=
    12
    x+4的图象与该二次函数的图象交于A点（8，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．
    （1）求B点的坐标与这个二次函数的解析式；
    （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E．设该线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；
    （3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、D、B为顶点的三角形与△B精英家教网OC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知二次函数图象的顶点是（-1，2），且过点(0，
    32
    )    ．
    （1）求二次函数的表达式；
    （2）画出该二次函数的图象，并指出x为何值时，y随的x增大而增大．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知二次函数图象的顶点坐标为M（3，-2），且与y轴交于N（0，
    52
    ）．
    （1）求该二次函数的解析式，并用列表、描点画出它的图象；
    （2）若该图象与x轴交于A、B两点，在对称轴右侧的图象上存在点C，使得△ABC的面积等于12，求出C点的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两精英家教网点（A在B的左侧），且A点坐标为（-4，4）．平行于x轴的直线l过（0，-1）点．
    （1）求一次函数与二次函数的解析式；
    （2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；
    （3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上，P为线段AB上一动点（除A，B两端点外），过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q，设线段PQ的长为l，点P的横坐标为x．
    （1）求出l与x之间的函数关系式，并求出l的取值范围；
    （2）在线段AB上是否存在一点P，使四边形PQMA为梯形？若存在，求出点P的坐标及梯形PQMA的面积；若不存在，请说明理由；
    （3）当2＜x＜6时，延长PQ、AM交于F，连接NF、PM，求证：NF⊥PM．

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