Question

设S=

1

13

+

1

23

+

1

33

+…+

1

20113

，则4S的整数部分等于（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

分析：由于

1

k3

＜

1

k(k2-1)

=

1

2

[

1

(k-1)k

-

1

k(k+1)

]，利用这个都是把已知等式变为1＜S=1+

1

23

+

1

33

+…+

1

20113

＜1+

1

2

(

1

2

-

1

2011×2012

)＜

5

4

，由此即可求解．

解答：解：当k=2，3，2011，
因为

1

k3

＜

1

k(k2-1)

=

1

2

[

1

(k-1)k

-

1

k(k+1)

]，
所以1＜S=1+

1

23

+

1

33

+…+

1

20113

＜1+

1

2

(

1

2

-

1

2011×2012

)＜

5

4

．
于是有4＜4S＜5，
故4S的整数部分等于4．
故选A．

点评：此题主要考查了部分分式的计算，解题的关键是把已知都是利用

1

k3

＜

1

k(k2-1)

=

1

2

[

1

(k-1)k

-

1

k(k+1)

]变形化简即可解决问题．