Question

6．已知关于x的一元二次方程（x-k）²-2x+2k=0有两个实数根x₁、x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）当实数k为何值时，代数式x₁²+x₂²-x₁•x₂+1取得最小值，并求出该最小值．

Answer 1

分析 （1）先把方程整理为一般式，然后计算判别式的值得到△=4＞0，于是根据判别式的意义可得k为任意实数；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²+2k，则x₁²+x₂²-x₁•x₂+1=（x₁+x₂）²-3x₁x₂+1=4（k+1）²-3（k²+2k）+1，然后整理后配方得到（k+1）²+4，再利用非负数的性质确定最小值．

解答 解：（1）方程整理得x²-2（k+1）+k²+2k=0，
∵△=4（k+1）²-4（k²+2k）=4＞0，
∴实数k的取值范围是任意实数；
（2）根据题意得x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²+2k，
x₁²+x₂²-x₁•x₂+1=（x₁+x₂）²-3x₁x₂+1=4（k+1）²-3（k²+2k）+1=k²+2k+5=（k+1）²+4，
当k=-1时，代数式x₁²+x₂²-x₁•x₂+1取得最小值，该最小值为4．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了判别式的意义．