Question

【题目】如图：AD与⊙O相切于点D，AF经过圆心与圆交于点E、F，连接DE、DF，且EF=6，AD=4．

（1）证明：AD2=AEAF；

（2）延长AD到点B，使DB=AD，直径EF上有一动点C，连接CB交DF于点G，连接EG，设∠ACB=α，BG=x，EG=y．

①当α=900时，探索EG与BD的大小关系？并说明理由；

②当α=1200时，求y与x的关系式，并用x的代数式表示y．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①当α=90°时，EG＞BD，理由见解析；②当α=120°时，y= ．

【解析】试题分析：（1）连接OD，由AD是⊙O的切线，根据切线的性质可得OD⊥AD，即∠ADE+∠EDO=90°，再由EF是直径，根据圆周角定理的推论可得∠EDF=90°，即∠EDO+∠ODF=90°，即可得∠ADE=∠ODF，再由OD=OF，根据等腰三角形的性质可得∠ODF=∠OFD，所以∠ADE=∠OFD，即可判定△ADE∽△AFD，根据相似三角形的性质可得 ，即AD2=AEAF；（2）①当α=90°时，EG＞BD，理由如下：取EG的中点H，连接CH、DH、CD，在Rt△EDG、Rt△ECG中，点H为EG的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CH=EH=GH=DH= EG，根据圆的定义即可判定点C、E、D、G在以点H为圆心，EG为直径的圆上，根据直径是圆中最长的弦可得EG＞CD，在Rt△ABC中，DB=AD，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD= DB=AD=AB，即可得结论EG＞BD；②当α=120°时，将△ADE绕着点D旋转180°，得到△BDP，连接GP，由（1）AD2=AEAF可得16=AE(AE+6)，解得AE=2或AE=－8（舍去），因△ADE≌△BDP，根据全等三角形的性质可得ED=DP，AE=BP=2，∠A=∠DBP，再由∠EDF=90°可得DG垂直平分EP，根据线段垂直平分线的性质可得GE=GP=y，因∠A+∠ABC=180°－120°=60°所以∠DBP+∠ABC=60°，即∠GBP=60°；过点P作PQ⊥BG，在Rt△BPQ中，∠GBP=60°，BP=2，可求得BQ=1，PQ= ，所以GQ=BG－BQ=x－1，在Rt△GPQ中, PQ=，GQ=x－1，GP=y，由勾股定理可得PG2=GQ2+PQ2，即y2=(x-1) 2+( ) 2 ，整理即可得y= .

试题解析：

（1）证明：连接OD

∵AD是⊙O的切线

∴OD⊥AD，即∠ADE+∠EDO=90°

∵EF是直径

∴∠EDF=90°，即∠EDO+∠ODF=90°

∴∠ADE=∠ODF

∵OD=OF

∴∠ODF=∠OFD

∴∠ADE=∠OFD

∴△ADE∽△AFD

∴，即

（2）①当时，EG＞BD

理由如下：取EG的中点H，连接CH、DH、CD,

∵Rt△EDG、Rt△ECG,点H为EG的中点

∴CH=EH=GH=DH=

∴点C、E、D、G在以点H为圆心，EG为直径的圆上

∴EG＞CD

∵Rt△ABC, DB=AD

∴CD= DB=AD=

∴EG＞BD

②当时

将△ADE绕着点D旋转180°，得到△BDP,连接GP

由（1）得： ，解得AE=2或AE=－8（舍去）

∴△ADE≌△BDP

∴ED=DP，AE=BP=2，∠A=∠DBP

∵∠EDF=90°

∴DG垂直平分EP

∴GE=GP=

∵∠A+∠ABC=180°－120°=60°

∴∠DBP+∠ABC=60°，即∠GBP=60°

过点P作PQ⊥BG

在Rt△BPQ中，∠GBP=60°，BP=2

∴BQ=1，PQ=

∴GQ=BG－BQ= －1

在Rt△GPQ中, PQ=，GQ= －1，GP=

∴

即