Question

勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮在学习完本章知识后，他和星源数学社的其他成员进行了有关知识的探索．请你根据他们的思路完成下列各项内容：

问题解决：如图（1）△ABC中，∠C=90°，分别以其三边向外作正方形，若S₁=25，S₂=7，则AC=

 

．
变式探究：
（1）如图（2），若以△ABC的三边向外作等腰直角三角形，∠D=∠E=∠F=90°，AD=DC，CE=BE，AF=BF，则S₁、S₂、S₃之间的关系为

 

；
（2）如图（3），若分别以三边为直径向外作半圆，则S₁、S₂、S₃之间的关系为

 

；
 （3）如图（4），小亮将S₁沿AB向上翻折，发现AB为直径的半圆刚好过点C，此时阴影部分的面积之和等于直角三角形ABC的面积，你认为正确吗？并说明理由；
拓展应用：如图（5），△ABC中，∠ACB=90°，分别以它的三边向外作平行四边形，QC∥GS∥TH交AB于P交GH于N，且QC=PN，若平行四边形ABHG和平行四边形SQCA的面积分别为8和6，则平行四边形QTBC的面积为

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,平行四边形的性质

专题：

分析：问题解决：利用勾股定理结合正方形面积求法得出AC的长；
（1）在勾股定理的基础上结合具体图形的面积公式，运用等式的性质即可得出结论；
（2）在勾股定理的基础上结合具体图形的面积公式，运用等式的性质即可得出结论；
（3）分别用AB、BC和AC表示出 S₁、S₂、S₃，然后根据AB²=AC²+BC²即可得出S₁、S₂、S₃的关系；
拓展应用：利用平行四边形的性质以及平行线的性质进而得出各图形之间面积关系．

解答：解：问题解决：∵AB²=AC²+BC²，
S₁=25，S₂=7，
∴AC²=25-7=18，
∴AC=3

2

；
故答案为：3

2

；

（1）由等腰直角三角形的性质可得：S₃=

1

4

AC²，S₂=

1

4

BC²，S₁=

1

4

AB²，
则S₃+S₂=

1

4

（AC²+BC²），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₃+S₂=S₁．
故答案为：S₃+S₂=S₁；

（2）由圆的面积计算公式知：S₃=

1

8

πAC²，S₂=

1

8

πBC²，S₁=

1

8

πAB²，
则S₃+S₂=

1

8

π（AC²+BC²），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₃+S₂=S₁．
故答案为：S₃+S₂=S₁；

（3）正确；
理由：∵阴影部分面积等于：

1

2

π（

AC

2

）²+

1

2

π（

BC

2

）²+

1

2

×AC×BC-

1

2

π（

AB

2

）²，
又∵AC²+BC²=AB²，
∴阴影部分的面积之和等于直角三角形ABC的面积；

拓展应用：∵分别以它的三边向外作平行四边形，QC∥GS∥TH交AB于P交GH于N，且QC=PN，
∴QC=BT=PN，四边形APNG和四边形PBHN都是平行四边形，且S到CQ的距离等于A到PN的距离，
C到TB的距离等于P到BH的距离，
∴S_{四边形ACQS}=S_{四边形AGNP}，S_{四边形QCBT}=S_{四边形PNHB}，
∴S_{四边形SACQ}+S_{四边形QCBT}=S_{四边形AGHB}，
∵平行四边形ABHG和平行四边形SQCA的面积分别为8和6，
∴平行四边形QTBC的面积为：8-6=2．
故答案为：2．

点评：此题主要考查了勾股定理以及图形面积求法和平行四边形的性质等知识，熟练利用勾股定理以及平行四边形面积求法得出是解题关键．