Question

18．设N=23x+92y为完全平方数，且N＜2000，x、y为正整数，求x+y的值．

Answer 1

分析 此题可根据N=23x+92y为完全平方数，N不超过2392，则x+4y=23m²＜2000，确定出m²的取值，再分别讨论得出正整数对（x，y），再代入计算即可求解．

解答 解：N=23x+92y=23（x+4y），且23为质数，N＜2000，x、y为正整数，
设x+4y=23m²（m为正整数），且N=23²m²＜2000，得：m²＜$\frac{2000}{2{3}^{2}}$=$\frac{2000}{529}$＜4，
∴m²=1，
当m²=1时，则x+4y=23，
当x=3，y=5时，x+y=8；
当x=7，y=4时，x+y=11；
当x=11，y=3时，x+y=14；
当x=15，y=2时，x+y=17；
当x=19，y=1时，x+y=20．
综上所述，x+y的值为8或11或14或17或20．

点评 本题考查了完全平方式的应用，关键是由题意确定出x+4y的值，再分别得出满足等式的整数x，y，比较复杂．