Question

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的角平分线，若AD=4，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 首先根据角平分线的性质可得∠CAD=∠DAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°，再根据等角对等边可得BD=AD，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD长，进而可得答案．

解答 解：∵∠C=90°∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠DAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°，
∴BD=AD=4，CD=$\frac{1}{2}$AD，
∴CD=2，
∴BC=6，AC=$\sqrt{A{D}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2AC=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的周长=6+2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$=6+6$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．