Question

3．如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD．
（1）求证：Rt△BEC≌Rt△CDB；
（2）若BD与CE相交于点P，则点P在∠BAC的角平分线上吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可；
（2）连接AP，由BD、CE为三角形的两条高，得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，以及BE=CD，利用AAS得到三角形BPE与三角形CPD全等，利用全等三角形的对应边相等得到PE=PD，再由PE垂直于AB，PD垂直于AC，利用角平分线逆定理即可得证．

解答 证明：（1）∵BD，CE分别是△ABC的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BC}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．
（2）连接AP，

在△BPE和△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠PPDC=90°}\\{∠BPE=∠CPD}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△CPD（AAS），
∴PE=PD，
∵PE⊥AB，PD⊥AC，
∴点P在∠BAC的平分线上

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．