Question

14．如图，在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：$\widehat{EC}$=2$\widehat{BE}$．

Answer 1

分析 首先推出DE⊥OC，求出∠EDO=90°，根据OD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OE，求出∠DEO=30°，求出∠EOC，根据OC⊥AB，求出∠BOC=90°，求出∠BOE=30°，即可求出答案．

解答 证明：∵AB⊥OC，DE∥AB，
∴DE⊥OC，
∴∠EDO=90°，
∵D为OC中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OE，
∴∠DEO=30°，
∴∠EOC=90°-30°=60°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∴∠BOE=90°-60°=30°，
即∠BOE=30°，∠COE=60°，
∴$\widehat{EC}$=2$\widehat{BE}$．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数是解答此题的关键．