Question

5．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-4，4），以点A为顶点作∠MAN=45°，AM交x轴正半轴于点E（a，0），AN交y轴负半轴于点F（0，b），连结OA．
（1）求证：△OAF∽OEA；
（2）当a=2时，求b的值；
（3）如果△AEF为等腰三角形，请求b的值．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标特点和勾股定理得出OA=4$\sqrt{2}$，∠AOF=∠AOE=135°，由已知条件得出∠OFA=∠OAE，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质得出OA：OE=OF：OA=AF：AE，求出OE•OF=OA²=32，得出OF=16，即可得出b的值；
（3）分三种情况：①当AE=AF时，由（1）得出△OAF≌OEA，求出OA=OF，得出OF=4$\sqrt{2}$，求出b=-4$\sqrt{2}$；
②当EA=EF时，证出∠AEO=∠EFO，作AM⊥x轴于M，则AM=4，∠AME=90°，由AAS证明△AEM≌△EFO，得出AM=OE=4，即可得出b=-4；
③当FA=FE时，同②得出b=-4；即可得出结果．

解答 （1）证明：∵点A的坐标为（-4，4），
∴OA=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，∠AOF=∠AOE=135°，
∴∠OAF+∠OFA=45°，
∵∠MAN=45°，
∴∠OFA=∠OAE，
∴△OAF∽OEA；
（2）解：∵△OAF∽OEA，
∴OA：OE=OF：OA=AF：AE，
∴OE•OF=OA²=32，
∵E（a，0），F（0，b），a=2，
∴OF=16，∴b=-16；
（3）解：分三种情况：
①当AE=AF时，如答图1：

由（1）得：△OAF≌OEA，
∴OF=OA，
∵AM=4，OM=4，
∴OA=4$\sqrt{2}$
∴OF=4$\sqrt{2}$，
∴b=-4$\sqrt{2}$；
②当EA=EF时，作AM⊥x轴于M，如答图2：

∵∠AFE=∠MAN=45°，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEO=∠EFO，
则AM=4，∠AME=90°，
在△AEM和△EFO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMO=∠FOE=90°}&{\;}\\{∠AEO=∠EFO}&{\;}\\{AE=FE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△EFO（AAS），
∴OF=EM=4+4=8，
∴b=-8；
③当FA=FE时，作AN⊥y轴于点N，如答图3：

∵∠AEF=∠EAF=45°，
∴∠AFE=90°，
∵∠AFN+∠OFE=90°，∠AFN+∠FAN=90°，
∴∠OFE=∠FAN，
在△ANF和△FOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ANF=∠FOE=90°}\\{∠OFE=∠FAN}\\{AF=EF}\end{array}\right.$，
∴△ANF≌△FOE．
∴OF=AN=4
∴b=-4；
综上所述：如果△AEF为等腰三角形，b的值为-4$\sqrt{2}$，-8或-4．

点评 本题是相似形综合题目，考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．