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【题目】如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,BC=4,点P是△ABC边上一动点,沿B→A→C的路径移动,过点P作PD⊥BC于点D,设BD=x,△BDP的面积为y,则下列能大致反映y与x函数关系的图象是(  )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】过A点作AH⊥BC于H,利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°,BH=CH=AH=BC=2,分类讨论:当0≤x≤2时,如图1,易得PD=BD=x,根据三角形面积公式得到y=x2;当2<x≤4时,如图2,易得PD=CD=4﹣x,根据三角形面积公式得到y=﹣x2+2x,于是可判断当0≤x≤2时,y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分,当2<x≤4时,y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分,然后利用此特征可对四个选项进行判断.

解:过A点作AH⊥BC于H,

∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠B=∠C=45°,BH=CH=AH=BC=2,

当0≤x≤2时,如图1,

∵∠B=45°,

∴PD=BD=x,

∴y=xx=x2

当2<x≤4时,如图2,

∵∠C=45°,

∴PD=CD=4﹣x,

∴y=(4﹣x)x=﹣x2+2x,

故选B.

“点睛”本题主要考查了动点问题的函数图象,解题时注意:二次函数的图象为抛物线,一次函数的图象为直线,用图象解集问题时,要理清图象的含义即会识图.

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