Question

【题目】如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．

（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；
（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．
（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点C在y= 的图象上，且C点横坐标为1，

∴C（1，1），

∵AC∥y轴，AB∥x轴，

∴A点横坐标为1，

∵A点在函数y= （x＞0）图象上，

∴A（1，4），

∴B点纵坐标为4，

∵点B在y= 的图象上，

∴B点坐标为（ ，4）；

（2）

解：设A（a， ），则C（a， ），B（ ， ），

∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ，

∴S△ABC= ABAC= × × = ，

即△ABC的面积不发生变化，其面积为 ；

（3）

解：如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，

∵AB∥x轴，

∴△ABC∽△EFC，

∴ = ，即 = ，

∴EF= a，

由（2）可知BG= a，

∴BG=EF，

∵AE∥y轴，

∴∠BDG=∠FCE，

在△DBG和△CFE中

∴△DBG≌△CEF（AAS），

∴BD=EF．

【解析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y= 可求得B点坐标；（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．
【考点精析】本题主要考查了反比例函数的图象和反比例函数的性质的相关知识点，需要掌握反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点；性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大才能正确解答此题．