Question

17．对于正数x，规定f（x）=$\frac{x}{1+x}$，例如：f（3）=$\frac{3}{1+3}$=$\frac{3}{4}$，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{4}$，则f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{1}{2014}$）+…+f（$\frac{1}{2}$）+f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）的值为（　　）

• A． 2016
• B． 2015
• C． 2015.5
• D． 2014.5

Answer 1

分析 根据题中所给出的例子找出规律，进而可得出结论．

解答 解：∵对于正数x，规定f（x）=$\frac{x}{1+x}$，
∴f（1）=$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，f（2）=$\frac{1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，f（3）=$\frac{3}{1+3}$=$\frac{3}{4}$，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{4}$…，
∴f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=1，
∴f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{1}{2014}$）+…+f（$\frac{1}{2}$）+f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）
=[f（$\frac{1}{2015}$）+f（2015）]+…+f（1）
=2014+$\frac{1}{2}$
=2014.5．

点评 本题考查的是分式的化简求值，此题属规律性题目，根据题意找出规律是解答此题的关键．