【题目】如图1,矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.
(1)求证:△OCP∽△PDA;
(2)若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长;
(3)如图2,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.探究:当点M、N在移动过程中,线段EF与线段PB有何数量关系?并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)10;(3)PB=2EF.
【解析】
(1)根据折叠的性质可知得到∠APO=∠B=90°,根据相似三角形的判定定理证明即可;
(2)根据勾股定理计算即可;
(3)作MH∥AB交PB于H,根据相似三角形的性质得到BF=FH,根据等腰三角形的性质得到PE=EH,得到答案.
(1)证明:由折叠的性质可知,∠APO=∠B=90°,
∴∠APD+∠CPO=90°,又∠APD+∠DAP=90°,
∴∠DAP=∠CPO,又∠D=∠C=90°,
∴△OCP∽△PDA;
(2)∵△OCP∽△PDA,面积比为1:4,
∴,
∴CP=4,
设AB=x,则AP=x,PD=x-4,
由勾股定理得,AD2+PD2=AP2,即82+(x-4)2=x2,
解得,x=10,即AB=10;
(3)PB=2EF.
作MH∥AB交PB于H,
∴∠PHM=∠PBA,
∵AP=AB,
∴∠APB=∠PBA,
∴∠APB=∠PHM,
∴MP=MH,又BN=PM,
∴MH=BN,又∵MH∥AB,
∴BF=FH,
∵MP=MH,ME⊥BP,
∴PE=EH,
∴PB=2EF.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;、②3a+c>0;③当x>0时,y随x的增大而减小;④当y>0时,x的取值范围是﹣1<x<3;⑤方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,连接PC.
①求线段PM的最大值;
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时,求点P的坐标.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC的垂直平分线EF交AC于点D,交AB于点F,且CE=BF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)当∠BAC的度数为多少时,四边形AECF是正方形.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边在第一象限作正方形ABCD,点D在双曲线y=(k≠0)上,将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后,点C恰好落在双曲线上,则a的值是____.
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【题目】如图,正方形 ABCD 的对称中心在坐标原点,AB∥x 轴,AD、BC 分别与 x 轴交于 E、F,连接 BE、DF,若正方形 ABCD 的顶点 B,D在双曲线 y 上,实数 a 满足 a1-a 1,则四边形 DEBF 的面积是_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3,0)、B(1,0)两点,其顶点为D,连接AD,点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合).
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)如图1,过点P作PE⊥y轴于点E.求△PAE面积S的最大值;
(3)如图2,抛物线上是否存在一点Q,使得四边形OAPQ为平行四边形?若存在求出Q点坐标,若不存在请说明理由.
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【题目】已知关于x的一元二次方程:x2﹣(m﹣3)x﹣m=0
(1)证明原方程有两个不相等的实数根;
(2)若抛物线y=x2﹣(m﹣3)x﹣m与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,则A,B两点间的距离是否存在最大或最小值?若存在,求出这个值;若不存在,请说明理由.(友情提示:AB=|x1﹣x2|)
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