Question

（1）如图1，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，猜想线段MN、BM与DN之间有怎样的关系？并证明．
（2）如图2，已知四边形ABCD中，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，AB=AD，∠BAC=120°，∠MAN=60°，（1）中线段BM与DN之间的关系还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）张大爷有一块五变形的土地，如图3，已知AB=AE=6，BC=4，DE=3，∠BAE=2∠CAD，AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，请你帮助张大爷计算这块土地的面积．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）延长CD到F，使DF=BM，连接AF，根据正方形性质得出AB=AD，∠ABM=∠ADN=∠ADF=90°，∠BAD=90°，证△ABM≌△ADF，推出AM=AF，∠FAD=∠BAM，求出∠FAN=∠FAD+∠DAN=∠NAM，证出△MAN≌△FAN即可；
（2）延长CD到F，使DF=BM，连接AF，证△ABM≌△ADF，推出AM=AF，∠FAD=∠BAM，求出∠FAN=∠NAM，证出△MAN≌△FAN即可；
（3）延长DE到F，使EF=BC，连接AF，证△ABC≌△AEF，推出AC=AF，∠FAE=∠BAC，求出∠FAD=∠DAC，证△FAD≌△CAD，得出S_△DAC=S_△FAD=S_△EAD+S_△BAC，推出这块土地的面积是2S_△FAD，代入求出即可．

解答：
（1）MN=BM+DN，
证明：延长CD到F，使DF=BM，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABM=∠ADN=∠ADF=90°，∠BAD=90°，
在△ABM和△ADF中

AB=AD ∠B=∠ADF BM=DF

∴△ABM≌△ADF，
∴AM=AF，∠FAD=∠BAM，
∵∠DAB=90°，∠NAM=45°，
∴∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠FAN=∠FAD+∠DAN=∠BAM+∠DAN=45°=∠NAM，
在△MAN和△FAN中

AN=AN ∠MAN=∠FAN AM=AF

∴△MAN≌△FAN，
∴MN=NF=DF+DN=BM+DN．

（2）还成立，
证明：延长CD到F，使DF=BM，连接AF，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，
∴∠ABM=∠ADN=∠ADF=90°，
在△ABM和△ADF中

AB=AD ∠B=∠ADF BM=DF

∴△ABM≌△ADF，
∴AM=AF，∠FAD=∠BAM，
∵∠DAB=120°，∠MAN=60°，
∴∠DAN+∠BAM=60°，
∴∠FAN=∠FAD+∠DAN=∠BAM+∠DAN=60°=∠NAM，
在△MAN和△FAN中

AN=AN ∠MAN=∠FAN AM=AF

∴△MAN≌△FAN，
∴MN=NF=DF+DN=BM+DN．

（3）解：延长DE到F，使EF=BC，连接AF
∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠ABC=∠AED=∠AEF=90°，
在△ABC和△AEF中

AB=AE ∠B=∠AEF BC=EF

∴△ABC≌△AEF，
∴AC=AF，∠FAE=∠BAC，
∵∠BAE=2∠DAC，
∴∠DAE+∠BAC=∠DAC，
∴∠FAD=∠FAE+∠EAD=∠BAC+∠EAD=∠DAC，
在△FAD和△CAD中

AD=AD ∠FAD=∠DAC AF=AC

∴△FAD≌△CAD，
∴S_△DAC=S_△FAD=S_△EAD+S_△BAC，
即这块土地的面积是2S_△FAD=2×

1

2

DF×AE=（4+3）×6=42．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，证明过程类似．