Question

5．已知等腰△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，点E、F、P分别在射线AB、射线AC、射线AD上，且∠EPF+∠BSC=180°．
（1）如图①，当点P与点D重合时，探究线段PE和PF之间的数量关系，并证明；
（2）如图②，当点P在AD延长线上时，（1）中的结论是否仍成立？（直接写出结论，不需证明）
（3）如图②，连接EF，探究∠PEF与∠BAC之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）在AB上取点G，使AG=AF，连接DG，由等腰三角形的性质证明△AGD≌△AFD就可以得出结论；
（2）在AC上取点G，使AG=AE，连接PG，由等腰三角形的性质证明△AEP≌△AGP就可以得出结论；
（3）连接EF，由（2）可知PE=PF，根据等边对等角得出∠PEF=∠PFE，所以∠EPF+2∠PEF=180°，根据已知∠EPF+∠BAC=180°，就可以得出∠BAC=2∠EPF．

解答 解：（1）如图1，在AB上取点G，使AG=AF，连接DG，
∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD．
在△AGD和△AFD中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△AFD（SAS），
∴GD=FD，∠AGD=∠AFD．
∵∠BAC+∠AED+∠EDF+∠AFD=360°，且∠EPF+∠BAC=180°，
∴∠AED+∠AFD=180°，
∴∠AED+∠AGD=180°．
∵∠AGD+∠EGD=180°，
∴∠AED=∠EGD，
∴ED=GD，
∴EP=FP；

（2）EP=FP成立；
理由：如图2，在AC上取点G，使AG=AE，连接PG，
∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD．
在△AEP和△AGP中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△AGP（SAS），
∴EP=GP，∠AEP=∠AGP．
∵∠BAC+∠AEP+∠EPF+∠AFP=360°，且∠EPF+∠BAC=180°，
∴∠AEP+∠AFP=180°，
∴∠AGP+∠AFP=180°．
∵∠AGP+∠FGP=180°，
∴∠AFP=∠EGP，
∴PG=PF，
∴EP=FP；

（3）如图2，连接EF，
由（2）可知PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE，
∵∠EPF+∠PEF+∠PFE=180°，
∴∠EPF+2∠PEF=180°，
∵∠EPF+∠BAC=180°，
∴2∠EPF=∠BAC．

点评 本题考查了等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是本题的关键．．