Question

如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．
（1）若l：y=-2x+2，则P表示的函数解析式为

 

；若P：y=-x²-3x+4，则l表示的函数解析式为

 

．
（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图②，若l：y=-2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；
（4）如图③，若l：y=mx-4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=

10

，直接写出l，P表示的函数解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题,一次函数的应用,勾股定理,等腰直角三角形,平行四边形的性质,作图-旋转变换

专题：压轴题,新定义

分析：（1）若l：y=-2x+2，求出点A、B、D的坐标，利用待定系数法求出P表示的函数解析式；若P：y=-x²-3x+4，求出点D、A、B的坐标，再利用待定系数法求出l表示的函数解析式；
（2）根据对称轴的定义解答即可；
（3）以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，则有FQ∥CE，且FQ=CE．以此为基础，列方程求出点Q的坐标．注意：点Q的坐标有两个，如答图1所示，不要漏解；
（4）如答图2所示，作辅助线，构造等腰直角三角形OGH，求出OG的长度，进而由AB=2OG求出AB的长度，再利用勾股定理求出y=mx-4m中m的值，最后分别求出l，P表示的函数解析式．

解答：解：（1）若l：y=-2x+2，则A（1，0），B（0，2）．
∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，
∴D（-2，0）．
设P表示的函数解析式为：y=ax²+bx+c，将点A、B、D坐标代入得：

a+b+c=0 c=2 4a-2b+c=0

，
解得

a=-1 b=-1 c=2

，
∴P表示的函数解析式为：y=-x²-x+2；
若P：y=-x²-3x+4=-（x+4）（x-1），
则D（-4，0），A（1，0）．
∴B（0，4）．
设l表示的函数解析式为：y=kx+b，将点A、B坐标代入得：

k+b=0 b=4

，解得

k=-4 b=4

，
∴l表示的函数解析式为：y=-4x+4．

（2）直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0），
令y=0，即mx+n=0，得x=-

n

m

；
令x=0，得y=n．
∴A（-

n

m

，0）、B（0，n），
∴D（-n，0）．
设抛物线对称轴与x轴的交点为N（x，0），
∵DN=AN，
∴-

n

m

-x=x-（-n），
∴2x=-n-

n

m

，
∴P的对称轴为x=-

mn+n

2m

．

（3）若l：y=-2x+4，则A（2，0）、B（0，4），
∴C（0，2）、D（-4，0）．
可求得直线CD的解析式为：y=

1

2

x+2．
由（2）可知，P的对称轴为x=-1．
∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，
∴FQ∥CE，且FQ=CE．
设直线FQ的解析式为：y=

1

2

x+b．
∵点E、点C的横坐标相差1，
∴点F、点Q的横坐标也是相差1．
则|x_F-（-1）|=|x_F+1|=1，
解得x_F=0或x_F=-2．
∵点F在直线l_l：y=-2x+4上，
∴点F坐标为（0，4）或（-2，8）．
若F（0，4），则直线FQ的解析式为：y=

1

2

x+4，
当x=-1时，y=

7

2

，
∴Q₁（-1，

7

2

）；
若F（-2，8），则直线FQ的解析式为：y=

1

2

x+9，
当x=-1时，y=

17

2

，
∴Q₂（-1，

17

2

）．
∴满足条件的点Q有2个，如答图1所示，点Q坐标为Q₁（-1，

7

2

）、Q₂（-1，

17

2

）．

（4）如答图2所示，连接OG、OH．
∵点G、H为斜边中点，
∴OG=

1

2

AB，OH=

1

2

CD．
由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH，
∴△OGH为等腰直角三角形．
∵点G为GH中点，
∴△OMG为等腰直角三角形，
∴OG=

2

OM=

2

•

10

=2

5

，
∴AB=2OG=4

5

．
∵l：y=mx-4m，
∴A（4，0），B（0，-4m）．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA²+OB²=AB²，
即：4²+（-4m）²=（4

5

）²，
解得：m=-2或m=2，
∵点B在y轴正半轴，
∴m=2舍去，∴m=-2．
∴l表示的函数解析式为：y=-2x+8；
∴B（0，8），D（-8，0）．
又A（4，0），
利用待定系数法求得P：y=-

1

4

x²-x+8．

点评：本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数、待定系数法、旋转变换、平行四边形、等腰直角三角形、勾股定理等多个知识点，综合性较强，有一定的难度．题干中定义了“关联抛物线”与“关联直线”的新概念，理解这两个概念是正确解题的前提．