已知抛物线y=x2-(m2+8)x+2(m2+6)．(Ⅰ)试求该抛物线与x轴是否相交?(Ⅱ)若抛物线与x轴交于A.B两点.与y轴交点为C.试判断∠ABC的大小与m的取值有何关系?(Ⅲ)设抛物线的顶点为P.PD⊥x轴.点D为垂足.若S△ABC=3S△ABP.试判断PA与BC的位置关系.并说明理由,的条件下.若y轴正半轴上有一点N.使以A.O.N为顶点的三角形与以P.A.D为顶点的三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知抛物线y=x²-（m²+8）x+2（m²+6）．
（Ⅰ）试求该抛物线与x轴是否相交？
（Ⅱ）若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交点为C，试判断∠ABC的大小与m的取值有何关系？
（Ⅲ）设抛物线的顶点为P，PD⊥x轴，点D为垂足，若S_△ABC=3S_△ABP，试判断PA与BC的位置关系，并说明理由；
（Ⅳ）在（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的条件下，若y轴正半轴上有一点N，使以A，O，N为顶点的三角形与以P、A、D为顶点的三角形相似，求N点的坐标．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（Ⅰ）该抛物线与x轴是相交，只要计算b²-4ac的值，可知其大于0，所以抛物线和x轴相交；
（Ⅱ）∠ABC的大小与m的取值无关，易求OA，OB，OC的长，再计算tan∠ABC的值，可得为定值2，所以∠ABC的大小和m的值无关；
（Ⅲ）PA与BC的位置关系是PA∥BC，根据已知条件可证明△BOC∽△ADP，由相似三角形的性质可得：∠OBC=∠DAP，所以PA∥BC；
（Ⅳ）以A，O，N为顶点的三角形与以P、A、D为顶点的三角形相似时，对应边不确定，所以要分两种情况分别讨论，求出符合题意N的坐标即可．

解答：解：（Ⅰ）该抛物线与x轴是相交，理由如下：
∵b²-4ac=（m²+8）²-8（m²+6）=（m²+4）²＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
（Ⅱ）∠ABC的大小与m的取值无关，理由如下：
∵方程x²-（m²+8）x+2（m²+6）=0的两根为x₁=2，x₂=m²+6，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），
∴OA=2，OB=m²+6，OC=2（m²+6），

∴tan∠ABC=

2(m2+6)

m2+6

=2，
∴∠ABC的大小与m的取值无关．
（Ⅲ）如图，∵S_△ABC=3S_△ABP，
∴

AB•OC=

AB|PD|，
∴OC=3|PD|，
即2（m²+6）=3|

-(m2+4)2

|，
化简，得m²（3m²+16）=0，
∵3m²+16=0无解，
∴m=0，
∴当m=0时，y=x²-8x+12，
∴A（2，0）B（6，0），C（0，12），
∴AD=2，PD=4，OB=6，OC=12，
∴

=3，
∵∠BOC=∠ADP，
∴△BOC∽△ADP，
∴∠OBC=∠DAP，
∴PA∥BC．
（Ⅳ）①若△NOA∽△PDA，则

，
即

，
解得：ON=4，
∴N（0，4），
②若△NOA∽△ADP，则

，
即

，
解得：NO=1，
∴N（0，1）．

点评：此题考查了抛物线解析式的确定、相似三角形的判定和性质、平行线的判定、三角形面积的求法等重要知识点，（Ⅳ）小题中，用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．

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（1）若l：y=-2x+2，则P表示的函数解析式为

；若P：y=-x²-3x+4，则l表示的函数解析式为

．
（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图②，若l：y=-2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；
（4）如图③，若l：y=mx-4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=

，直接写出l，P表示的函数解析式．