Question

如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值．
（图（2）、图（3）供画图探究）

Answer 1

解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+3；

（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴对称轴为x=2，顶点坐标为P（2，-1），
∴满足条件的点M分别为M₁（2，7），M₂（2，2-1），M₃（2，），M₄（2，-2-1）；

（3）由（1），得A（1，0），
连接BP，
∵∠CBA=∠ABP=45°，
∴当=时，△ABC∽△PBQ，
∴BQ=3．
∴Q₁（0，0），
∴当=时，△ABC∽△QBP，
∴BQ=．
∴Q′（，0）．

（4）当0＜x＜3时，在此抛物线上任取一点E，连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，
设点F（x，-x+3），点E（x，x²-4x+3），
∴EF=-x²+3x，
∴S_△CBE=S_△CEF+S_△BEF=EF•OB，
=-x²+x，
=-（x-）²+，
∵a=-＜0，
∴当x=时，S_△CBE有最大值，
∴y=x²-4x+3=-，
∴E（，-）．
分析：（1）把B、C的坐标代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出C、P的坐标，求出PC的值，PC是腰时，有3个点，PC是底时，有1个点，根据PC的值求出即可；
（3）连接BP，根据相似得出比例式=和=，代入求出BQ即可；
（4）连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设点F（x，-x+3），点E（x，x²-4x+3），推出EF=-x²+3x，根据S_△CBE=S_△CEF+S_△BEF=EF•OB代入求出即可．
点评：本题综合考查了二次函数的综合，二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积等知识点的应用，此题难度偏大，对学生提出较高的要求，综合性比较强．