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【题目】如图1,P(2,2),点A在x轴正半轴上运动,点B在y轴负半轴上运动,且PA=PB.
(1)求证:PA⊥PB;
(2)若点A(8,0),求点B的坐标;
(3)求OA﹣OB的值;
(4)如图2,若点B在y轴正半轴上运动时,直接写出OA+OB的值.

【答案】
(1)证明:如图1,过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,

∵P(2,2),

∴PE=PF=2,

在Rt△APE和Rt△BPF中,

∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL),

∴∠APE=∠BPF,

∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90°,

∴PA⊥PB


(2)解:易得四边形OEPF是正方形,

∴OE=OF=2,

∵A(8,0),

∴OA=8,

∴AE=OA﹣OE=8﹣2=6,

∵Rt△APE≌Rt△BPF,

∴AE=BF=6,

∴OB=BF﹣OF=6﹣2=4,

∴点B的坐标为(0,﹣4)


(3)解:∵Rt△APE≌Rt△BPF,

∴AE=BF,

∵AE=OA﹣OE=OA﹣2,

BF=OB+OF=OB+2,

∴OA﹣2=OB+2,

∴OA﹣OB=4


(4)解:如图2,过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,

同(1)可得,Rt△APE≌Rt△BPF,

∴AE=BF,

∵AE=OA﹣OE=OA﹣2,

BF=OF﹣OB=2﹣OB,

∴OA﹣2=2﹣OB,

∴OA+OB=4


【解析】(1)过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,根据点P的坐标可得PE=PF=2,然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠APE=∠BPF,然后求出∠APB=∠EPF=90°,再根据垂直的定义证明;(2)求出AE的长度,再根据全等三角形对应边相等可得AE=BF,然后求出OB,再写出点B的坐标即可;(3)根据全等三角形对应边相等可得PE=PF,再表示出PE、PF,然后列出方程整理即可得解;(4)同(3)的思路求解即可.

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