【题目】如图1,P(2,2),点A在x轴正半轴上运动,点B在y轴负半轴上运动,且PA=PB.
(1)求证:PA⊥PB;
(2)若点A(8,0),求点B的坐标;
(3)求OA﹣OB的值;
(4)如图2,若点B在y轴正半轴上运动时,直接写出OA+OB的值.
【答案】
(1)证明:如图1,过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,
∵P(2,2),
∴PE=PF=2,
在Rt△APE和Rt△BPF中,
,
∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL),
∴∠APE=∠BPF,
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90°,
∴PA⊥PB
(2)解:易得四边形OEPF是正方形,
∴OE=OF=2,
∵A(8,0),
∴OA=8,
∴AE=OA﹣OE=8﹣2=6,
∵Rt△APE≌Rt△BPF,
∴AE=BF=6,
∴OB=BF﹣OF=6﹣2=4,
∴点B的坐标为(0,﹣4)
(3)解:∵Rt△APE≌Rt△BPF,
∴AE=BF,
∵AE=OA﹣OE=OA﹣2,
BF=OB+OF=OB+2,
∴OA﹣2=OB+2,
∴OA﹣OB=4
(4)解:如图2,过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,
同(1)可得,Rt△APE≌Rt△BPF,
∴AE=BF,
∵AE=OA﹣OE=OA﹣2,
BF=OF﹣OB=2﹣OB,
∴OA﹣2=2﹣OB,
∴OA+OB=4
【解析】(1)过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,根据点P的坐标可得PE=PF=2,然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠APE=∠BPF,然后求出∠APB=∠EPF=90°,再根据垂直的定义证明;(2)求出AE的长度,再根据全等三角形对应边相等可得AE=BF,然后求出OB,再写出点B的坐标即可;(3)根据全等三角形对应边相等可得PE=PF,再表示出PE、PF,然后列出方程整理即可得解;(4)同(3)的思路求解即可.
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【题目】如图,ABCD的对角线AC,BD交于点O,CE平分∠BCD交AB于点E,交BD于点F,且∠ABC=60°,AB=2BC,连接OE.下列结论:
①∠ACD=30°;②SABCD=ACBC;③OE:AC=:6;④S△OCF=2S△OEF
成立的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】如图,D、E分别是△ABC边AB、BC上的点,AD=2BD,BE=CE,设△ADF的面积为S1 , △CEF的面积为S2 , 若S△ABC=12,则S1﹣S2的值为 .
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【题目】为了了解某校七年级男生的体能情况,从该校七年级抽取50名男生进行1分钟跳绳测试,把所得数据整理后,画出频数分布直方图(如图).已知图中从左到右第一、第二、第三、第四小组的频数的比为1:3:4:2.
(1)求第二小组的频数和频率;
(2)求所抽取的50名男生中,1分钟跳绳次数在100次以上(含100次)的人数占所抽取的男生人数的百分比.
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【题目】如图1,在等边△ABC的边AC的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同侧.
(1)同学们对图1进行了热烈的讨论,猜想出如下结论,你认为正确的有(填序号). ①△ACD≌△BCE;②△ACP≌△BCQ; ③△DCP≌△ECQ;④∠ARB=60°;⑤△CPQ是等边三角形.
(2)当等边△CED绕C点旋转一定角度后(如图2),(1)中有哪些结论还是成立的?并对正确的结论分别予以证明.
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【题目】下列命题中,真命题是( )
A. 四个角相等的菱形是正方形 B. 对角线垂直的四边形是菱形
C. 有两边相等的平行四边形是菱形 D. 两条对角线相等的四边形是矩形
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【题目】如图,将△ABC向右平移5个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到△A′B′C′,
(1)请画出平移后的图形△A′B′C′;
(2)并写出△A′B′C′各顶点的坐标;
(3)求出△A′B′C′的面积.
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