Question

已知△ABC中，∠ACB=90゜，AC=BC，过C点任作直线l，过A点、B点分别作l的垂线AM、BN，垂足分别为M、N．若AM=2，BN=4，求MN的长．

Answer 1

解：图1中，MN=6，图2中，MN=2．
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM=CN，MC=NB，
∵MN=NC+CM，
∴MN=AM+BN=2+4=6；

（2）∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM=CN，MC=NB，
∵MN=CM-CN，
∴MN=BN-AM=4-2=2．
分析：（1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，利用线段的和差关系证明结论，进而得出答案；
（2）类似于（1）的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN与MN之间的数量关系，进而得出答案．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等．