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如图所示,已知△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于D,交AC于E,过D作DF⊥AC于F
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)连接DE,且AB=4,若∠FDC=30°,试求△CDE的面积.
分析:(1)连接OD,由AB=AC,利用等边对等角得到一对角相等,再由OB=OD,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到∠ODB=∠C,利用同位角相等两直线平行,根据DF垂直于AC,得到DF垂直于OD,即可确定出DF为圆的切线;
(2)连接DE,AD,根据∠FDC与∠DFC的度数求出∠C的度数为60°,由AB=AC,得到三角形ABC为等边三角形,进而确定出三角形EDC为等边三角形,由AB为圆的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到AD垂直于BC,利用三线合一得到D为BC中点,求出CD的长,进而确定出EC与DF的长,求出三角形DEC的面积即可.
解答:(1)证明:连接OD,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
∴∠C=∠ODB,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
则DF为圆O的切线;

(2)解:连接DE,AD,
∵∠FDC=30°,∠DFC=90°,
∴∠C=60°,
∵AB=AC,
∴△ABC为等边三角形,
∵∠CED为圆内接四边形ABDE的外角,
∴∠CED=∠B=60°,
∴△DEC为等边三角形,
∵AB为圆O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∴D为BC的中点,即DC=
1
2
BC=
1
2
AB=2,
∴EC=DC=2,DF=
3

则S△DEC=
1
2
×2×
3
=
3
点评:此题考查了切线的判定,圆周角定理,平行线的性质,垂径定理,以及等腰三角形的判定与性质,熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键.
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