Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E．

（1）若BC＝BD，，AD＝15，求△ABD的周长．

（2）若∠DBC＝45°，对角线AC、BD交于点O，F为AE上一点，且AF＝2EO，求证：CF＝AB．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析

【解析】

（1）根据平行四边形的性质可推出AD＝BD＝15，然后设BE＝x，则AB＝x，DE＝BD﹣BE＝15﹣x，利用勾股定理建立方程求出x，即可求周长；

（2）延长AE与BC交于点M，过点O作OG∥AE，分别交BC、CF于点G、H，连接EH，BF，并延长BF，与AD交于点N，连接DF，DG，首先通过平行四边形的性质推导OH是△ACF的中位线，再判定四边形BGDN是正方形，最后证明△DNF≌△DGC即可得出结论．

（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，

∵BC＝BD，

∴AD＝BD＝15，

∵，

设BE＝x，则AB＝x，DE＝BD﹣BE＝15﹣x，

∴AE＝＝＝3x，AE2+DE2＝AD2，

即：，

解得：x＝3，

∴AB＝3，

∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝15+15+3＝30+3；

（2）证明：延长AE与BC交于点M，过点O作OG∥AE，分别交BC、CF于点G、H，连接EH，BF，并延长BF，与AD交于点N，连接DF，DG，如图所示：

∵AE⊥BD，

∴OG⊥BD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD，OA＝OC，AB＝CD，

∴BG＝DG，

∵∠DBC＝45°，

∴∠BDG＝45°，

∴∠BGD＝90°，

∵OG∥AM，OA＝OC，

∴OH是△ACF的中位线，

∴OH＝AF＝OE，HF＝HC，

∴∠OEH＝∠OHE＝45°＝∠OBC，

∴EH∥BC，

∴EF＝ME，

∵BE⊥MF，

∴BF＝BM，

∴∠MBE＝∠EBF＝45°，

∴∠DNB＝∠NBG＝90°，

∴四边形BGDN是正方形，

∴DG＝DN＝BN＝BG，

∴MG＝FN，

∵AM∥OG，OA＝OC，

∴MG＝CG，

∴CG＝FN，

在△DNF和△DGC中，

，

∴△DNF≌△DGC（SAS），

∴DF＝DC，∠NDF＝∠GDC，

∴∠FDC＝∠NDG＝90°，

∴CF＝CD，

∴CF＝AB．