Question

6．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，D是△ABC的外角平分线AD上一点，DE⊥AC交CA的延长线于点E，连结DB．
（1）求证：∠CAB=2∠ADE；
（2）如图2，F是AC上一点，且DF=DB，若∠CAB=60°，求证：AC-AE=$\frac{1}{2}$AF．

Answer 1

分析 （1）作DG⊥AB于G，由AAS证明△ADE≌△ADG，得出∠ADE=∠ADG，AE=AG，DE=DG，证出∠CAB=∠EDG，即可得出结论；
（2）在AB上截取AH=AD，连接DH，证出∠ABC=30°，△ADH是等边三角形，得出AB=2AC，AD=AH=2AG=2GH=2AE，由HL证明Rt△DEF≌Rt△DGB，得出EF=GB，证出AF=BH，即可得出结论．

解答 （1）证明：作DG⊥AB于G，如图1所示：
则∠DGA=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠E=90°，
∵AD平分∠BAE，
∴∠DAE=∠DAG，
在△ADE和△ADG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠DGA=9°}&{\;}\\{∠DAE=∠DAG}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADG（AAS），
∴∠ADE=∠ADG，
∵∠E+∠DGA=180°，
∴∠EAG+∠EDG=180°，
∵∠EAG+∠CAB=180°，
∴∠CAB=∠EDG，
∴∠CAB=2∠ADE；
（2）证明：在AB上截取AH=AD，连接DH，如图2所示：
同（1）得：△ADE≌△ADG（AAS），
∴AE=AG，DE=DG
∵∠CAB=60°，AD平分∠BAE，∠C=90°，
∴∠BAD=∠DAE=∠60°，∠ABC=30°，
∴△ADH是等边三角形，AB=2AC，
∵DG⊥AB，
∴AD=AH=2AG=2GH=2AE，
在Rt△DEF和Rt△DGB中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=DB}&{\;}\\{DE=DG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEF≌Rt△DGB（HL），
∴EF=GB，
∵AE=AG=GH，
∴AF=BH，
∵AB-AH=BH，
∴2AC-2AE=AF，
∴AC-AE=$\frac{1}{2}$AF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、四边形内角和定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．