Question

11．如图1，已知抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x+4与x轴交于A、B两点（B点在A点右边），与y轴交于C点，P为线段OB上一动点，过P作x轴垂线交抛物线于D点，交直线AC于E点，过D点作DF⊥AE，垂足为F，设P点的横坐标为m．
（1）A点坐标为（-3，0），B点坐标为（4，0），直线AC的解析式y=$\frac{4}{3}x$+4．
（2）①求证：△COA∽△EFD；②当DF=PD时，求m的值；
（3）如图2，G点为线段OP上一点，若存在G点，使△EFD面积为△FDG面积的2倍，求m的取值范围．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）令x=0，计算与y轴的交点坐标，令y=0，计算与x轴的交点坐标，利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）①利用同角的余角相等证明△COA和△EFD有两个角分别相等，得相似；
②根据①中的相似列比例式：$\frac{AC}{ED}=\frac{OA}{FD}$，根据E是直线AC上一点利用m表示点E的纵坐标，根据D为抛物线上一点，利用m表示点D的纵坐标，代入比例式中列方程可求出m的值，并取舍；
（3）如图2，作辅助线，构建平行线，由同底边FD的两个三角形：S_△DEF=2S_△FDG，得EF=2FN，则由平行线分线段成比例定理得：$\frac{ED}{MD}=\frac{EF}{FN}$=2，ED=2MD，表示出PM的长，再证明△PGM≌△OCA，列比例式$\frac{PG}{PM}=\frac{OC}{OA}=\frac{4}{3}$，求出PG=$\frac{4}{3}$PM，根据G点为线段OP上一点，可知0≤x≤m，根据两端的数据列方程可得出结论．

解答 解：（1）如图1，当x=0时，y=4，
∴C（0，4），
当y=0时，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x+4=0，
x²-x-12=0，
（x+3）（x-4）=0，
x=-3或4，
∴A（-3，0）、B（4，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-3，0）、C（0，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x+4，
故答案为：（-3，0）；（4，0）；y=$\frac{4}{3}$x+4；
（2）如图1，①∵DF⊥AE，
∴∠DFE=90°，
∴∠E+∠FDE=90°，
∵PE⊥AB，
∴∠APE=90°，
∴∠E+∠CAO=90°，
∴∠FDE=∠CAO，
∵∠AOC=∠DFE=90°，
∴△COA∽△EFD；
②在Rt△AOC中，OA=3，OC=4，
∴AC=5，
∵PE⊥x轴，P（m，0），
∴D（m，-$\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{1}{3}$m+4），E（m，$\frac{4}{3}m$+4），
∴PD=-$\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{1}{3}$m+4，ED=PE-PD=$\frac{4}{3}$m+4-（-$\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{1}{3}$m+4）=$\frac{1}{3}{m}^{2}$+m，
∵FD=PD，
∴FD=-$\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{1}{3}$m+4，
∵△COA∽△EFD，
∴$\frac{AC}{ED}=\frac{OA}{FD}$，
∴$\frac{5}{\frac{1}{3}{m}^{2}+m}=\frac{3}{-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{1}{3}m+4}$，
∴3（$\frac{1}{3}{m}^{2}$+m）=5（-$\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{1}{3}$m+4），
解得：m₁=-3，m₂=$\frac{5}{2}$，
∵P为线段OB上一动点，
∴m＞0，
∴m₁=-3不符合题意，舍去，
∴m=$\frac{5}{2}$；
（3）如图2，过G作GM⊥AE，垂足为N，交ED的延长线于M，
∵DF⊥AE，
∴NG∥FD，
∴$\frac{EF}{FN}=\frac{ED}{MD}$，
∵S_△DEF=2S_△FDG，
∴$\frac{EF}{FN}$=2，
∴$\frac{ED}{MD}=\frac{EF}{FN}$=2，
∴ED=2MD，
由（2）得：ED=$\frac{1}{3}{m}^{2}$+m，
∴MD=$\frac{1}{6}{m}^{2}+\frac{1}{2}m$，
∴PM=MD-PD=（$\frac{1}{6}{m}^{2}+\frac{1}{2}m$）-（-$\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{1}{3}$m+4）=$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{1}{6}m-4$，
∵∠AGN=∠MGP，∠ANG=∠GPM=90°，
∴△PGM≌△OCA，
∴$\frac{PG}{PM}=\frac{OC}{OA}=\frac{4}{3}$，
∴PG=$\frac{4}{3}$PM，
∴PG=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{1}{6}m-4$）=m-x，
∴x=m-（$\frac{2}{3}{m}^{2}+\frac{2}{9}m-\frac{16}{3}$）=-$\frac{2}{3}{m}^{2}+\frac{7}{9}m+\frac{16}{3}$，
∵G是线段OP上一动点，
∴0≤x≤m，
当x=0时，-$\frac{2}{3}{m}^{2}+\frac{7}{9}m+\frac{16}{3}$=0，
6m²-7m-48=0，
解得：m=$\frac{7±\sqrt{1201}}{12}$，
∴m=$\frac{7+\sqrt{1201}}{12}$，
当x=m时，-$\frac{2}{3}{m}^{2}+\frac{7}{9}m+\frac{16}{3}$=m，
3m²+m-24=0，
解得：m₁=$\frac{8}{3}$，m₂=-3（舍去），
综上所述，使S_△DEF=2S_△FDG的m的取值范围是：$\frac{8}{3}$≤m≤$\frac{7+\sqrt{1201}}{12}$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了抛物线与两坐标轴的交点、利用待定系数法求一次函数的解析式和根据函数解析式表示图象上某点的坐标；与方程相结合，并利用相似三角形的性质列比例式，设未知数，得出方程解出即可．