Question

17．如图，已知抛物线C₁：y=a₁x²+b₁x+c₁和C₂：y=a₂x²+b₂x+c₂都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C₁和C₂为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C₁和C₂，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是y=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x和y=$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x（答案不唯一）．

Answer 1

分析 连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C₁的解析式为y=ax²+bx，
根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，$\sqrt{3}$），求出抛物线C₁的解析式，从而求出抛物线C₂的解析式．

解答 解：连接AB，
根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，
设抛物线C₁的解析式为y=ax²+bx，
根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，
∵OA=MA，
∴△AOM是等边三角形，
设OM=2，则点A的坐标是（1，$\sqrt{3}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=a+b}\\{0=4a+2b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$
则抛物线C₁的解析式为y=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x，
抛物线C₂的解析式为y=$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x，
故答案为：y=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x，y=$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x（答案不唯一）．

点评 此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．