Question

15．已知，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P在直线EF上运动（不含点E、F），点M是AB上固定一点，以PM为始边作∠MPN=60°，交直线CD于点N．
（1）如图1，猜想并验证∠MPN、∠PMA、∠PNC的数量关系．
（2）如图2，猜想并验证∠MPN、∠PMA、∠PNC的数量关系．
（3）如图3，当点P在直线CD下方时，请画出图形，直接写出∠MPN、∠PMA、∠PNC的关系．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得出∠CNP=∠1，再根据三角形外角性质得出∠MPN+∠PMA=∠PNC即可；
（2）过P点作PG∥AB∥CD，再根据平行线的性质得出∠MPN=∠PMA+∠PNC即可；
（3）画出图形，再根据平行线的性质可得三个角的关系．

解答 解：（1）如图1：
∠MPN+∠PMA=∠PNC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠PNC=∠1，
∵∠1=∠MPN+∠PMA，
∴∠MPN+∠PMA=∠PNC；

（2）如图2：
∠MPN=∠PMA+∠PNC，理由如下：
过P点作PG∥AB∥CD，
∵PG∥AB，
∴∠MPG=∠PMA，
∵PG∥CD，
∴∠GPN=∠PNC，
∵∠MPN=∠MPG+∠GPN，
∴∠MPN=∠PMA+∠PNC；

（3）如图3：
∠MPN+∠PNC=∠PMA，理由如下：
过P点作PG∥AB∥CD，
∵PG∥CD，
∴∠PNC=∠NPG，
∵PG∥AB，
∴∠PMA=∠MPG，
∵∠MPG=∠MPN+∠NPG，
∴∠MPN+∠PNC=∠PMA．

点评 本题主要考查外角的性质及平行线的性质，解题的关键是利用三角形的外角的性质找到角与角之间的关系．