Question

【题目】已知：抛物线y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（m0）交x轴于A、B两点（其中A点在B点左侧），交y轴于点C．

（1）若A点坐标为（﹣1，0），则B点坐标为　 ．

（2）如图1，在 （1）的条件下，且am＝1，设点M在y轴上且满足∠OCA+∠AMO＝∠ABC，试求点M坐标．

（3）如图2，在y轴上有一点P（0，n）（点P在点C的下方），直线PA、PB分别交抛物线于点E、F，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（3，0）；（2）满足要求的M点的坐标有（0，﹣2）、（0，2）；（3）．

【解析】

（1）将A点坐标代入抛物线解析式中求出m的值，然后可将抛物线解析式写成交点式即可知道B点坐标．

（2）先考虑M在y轴负半轴的情况，在y轴负半轴上截取OG=OA=1，连AG，可证△GMA∽△GAC，然后根据相似三角形的性质列方程即可求出M点坐标，由对称性可直接写出另一种情况．

（3）作EG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，由△EAG∽PAO得到线段比例等式推出OP的长度，得出P点坐标，算出直线PB解析式，与抛物线解析式联立可求出F点横坐标，再由△PFH∽△PBO即可得到所求线段比．

（1）将（﹣1，0）代入y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）得：1+2m﹣3m2＝0，

解得：m＝1或m＝﹣（舍），

∴y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）＝a（x+1）（x﹣3），

∴B（3，0）．

故答案为：（3，0）．

（2）当am＝1，时，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，

∴C（0，﹣3）

∴OB＝OC＝3，∠ABC＝45°，

如图1，M在y轴负半轴上，在y轴负半轴上截取OG＝OA＝1，连AG，

则∠AGO＝45°＝∠ABC，AG＝，

∠OCA+∠AMO＝∠ABC，

∴∠OCA+∠AMO＝45°，

又∵∠OCA+∠GAC＝∠AGO＝45°，

∴∠AMG＝∠GAC，

又∵∠AGM＝∠CGA，

∴△GMA∽△GAC，

∴AG2＝MGGC，

GC＝OC﹣OG＝2，设M（0，a）

∴2＝（﹣1﹣a）2，

∴a＝﹣2，

∴M的坐标为（0，﹣2）．

根据对称性可知（0，2）也符合要求．

综上所述，满足要求的M点的坐标有：（0，﹣2）、（0，2）．

（3）由抛物线解析式可得：A（﹣m，0），B3m，0）．

∵，

∴，

如图2，作EG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，

则轴，轴，

△EAG∽PAO，△PFH∽△PBO，

∴，

∴AG＝AO＝m，OP＝2EG，

∴xE＝﹣m，yE＝am2，即EG＝am2，

∴OP＝am2，

∴P（0，﹣am2），

又∵B（3m，0），

∴直线PB的解析式为：y＝amx﹣am2，

∴amx﹣am2＝a（x2﹣2mx﹣3m2），

∴2x2﹣7mx+3m2＝0，

∴x1＝3m（舍），x2＝m，

∴FH＝m，

△PFH∽△PBO，

∴．