Question

13．如图，已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AC交⊙O于点F，四边形AOEF是平行四边形．
（1）求BC的长．
（2）求证：EF是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）连接OF，由四边形AOEF是平行四边形，得到EF∥AB由E是BC的中点，得到AF=CF，根据切线的性质得到∠ABE=90°，推出四边形BEFO是矩形，于是得到结论；
（2）由（1）证得四边形OBEF为矩形，得到∠EFO=90°，即EF⊥OF，根据切线的判定定理即可得到结论．

解答 解：（1）连接OF，
∵四边形AOEF是平行四边形，
∴EF∥AB，
∵E是BC的中点，
∵AF=CF，
∵AO=BO，
∴OF∥BC，
∵过B点作⊙O的切线BC，
∴∠ABE=90°，
∴四边形BEFO是矩形，
∴BE=OF=2，
∴BC=2EB=4；

（2）由（1）证得四边形OBEF为矩形，
∴∠EFO=90°，
即EF⊥OF，
 又OF为半径，
∴EF是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．