【题目】已知,点M为二次函数y=﹣(x﹣b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴正半轴,y轴于点A,B.
(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由.
(2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5>﹣(x﹣b)2+4b+1,根据图象,写出x的取值范围.
(3)如图2,点A坐标为(5,0),点M在△AOB内,若点C(,y1),D(
,y2)都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.
【答案】(1)点M在直线y=4x+1上;理由见解析;(2)x的取值范围是x<0或x>5;(3)①当0<b<时,y1>y2,②当b=
时,y1=y2,③当
<b<
时,y1<y2.
【解析】
(1)根据顶点式解析式,可得顶点坐标,根据点的坐标代入函数解析式检验,可得答案;
(2)根据待定系数法,可得二次函数的解析式,根据函数图象与不等式的关系:图象在下方的函数值小,可得答案;
(3)根据解方程组,可得顶点M的纵坐标的范围,根据二次函数的性质,可得答案.
(1)点M为二次函数y=﹣(x﹣b)2+4b+1图象的顶点,
∴M的坐标是(b,4b+1),
把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,
∴点M在直线y=4x+1上;
(2)如图1,
直线y=mx+5交y轴于点B,
∴B点坐标为(0,5)又B在抛物线上,
∴5=﹣(0﹣b)2+4b+1=5,解得b=2,
二次函数的解析是为y=﹣(x﹣2)2+9,
当y=0时,﹣(x﹣2)2+9=0,解得x1=5,x2=﹣1,
∴A(5,0).
由图象,得
当mx+5>﹣(x﹣b)2+4b+1时,x的取值范围是x<0或x>5;
(3)如图2,
∵直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于F,
A(5,0),B(0,5)得
直线AB的解析式为y=﹣x+5,
联立EF,AB得方程组,
解得,
∴点E(,
),F(0,1).
点M在△AOB内,
1<4b+1<,
∴0<b<.
当点C,D关于抛物线的对称轴对称时,b﹣=
﹣b,∴b=
,
且二次函数图象开口向下,顶点M在直线y=4x+1上,
综上:①当0<b<时,y1>y2,
②当b=时,y1=y2,
③当<b<
时,y1<y2.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A,点B分别是x轴正半轴和直线y=x(x>0)上的动点,以AB为边在右侧作矩形ABCD,AB=2,BC=1.
(1)若OA=时,则△ABO的面积是______;
(2)若点A在x轴正半轴移动时,则CO的最大距离是______.
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【题目】如图,4张如图1的长为a,宽为b(a>b)长方形纸片,按图2的方式放置,阴影部分的面积为S1,空白部分的面积为S2,若S2=2S1,则a,b满足( )
A. a=B. a=2bC. a=
bD. a=3b
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【题目】某学校计划开设四门选修课:乐器、舞蹈、绘画、书法.为提前了解学生的选修情况,学校采取随机抽样的方法进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门).对调查结果进行了整理,绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给信息解答下列问题:
(1)本次调查的学生共有 人,在扇形统计图中,m的值是 ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)在被调查的学生中,选修书法的有2名女同学,其余为男同学,现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动,请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点M,弦MN∥BC交AB于点E,且ME=1,AM=2,AE=.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)求⊙O的半径.
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【题目】在直角坐标平面内,点A的坐标为,点B的坐标为
,圆A的半径为2.下列说法中不正确的是( )
A. 当时,点B在圆A上B. 当
时,点B在圆A内
C. 当时,点B在圆A外D. 当
时,点B在圆A内
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