Question

如图，将平行四边形ABCD的边延长线到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）添加一个条件，使四边形ABEC是矩形．你认为下列四个条件：①∠DAC=∠EAC；②AD=AE；③AB=AD；④∠AFC=2∠ABC中，可选择的是

 

（填上所有满足条件的序号）

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，CE=DC，易证得∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，则可证得△ABF≌△ECF；
（2）首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．

解答：解：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠AEC，
又∵CE=CD，
∴AB=CE，
在△ABF和△ECF中，

∠ABF=∠ECF ∠AFB=∠EFC AB=AB

，
∴△ABF≌△ECF（AAS）；
（2）当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠BCE=∠D，
由题意易得AB∥EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
①∵∠DAC=∠EAC，∠BCA=∠EAC，
∴∠EAC=∠BCA，
∴AF=CF，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形，故①正确；
②∵AD=AE，AD=BC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形，故②正确；
③AB=AD不能得到对角线相等或有一个角是直角，故③错误；
④∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，
∴当∠AFC=2∠ABC时，则有∠FEC=∠FCE，
∴FC=FE，
∴四边形ABEC是矩形，故④正确，
故答案为：①②④．

点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．